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Bernoulli-l'Hospitalsche Regel

Treten unbestimmte Ausdrücke der Form auf, dann wird die BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel verwendet, die oft kurz L'HOSPITALsche Regel genannt wird.
Fall a) Unbestimmte Ausdrücke der Form oder : Wenn für folgendes gilt:
1. und (unbestimmter Ausdruck oder
und (unbestimmter Ausdruck ,
2. die Funktionen und sind in einem Intervall, das den Punkt enthält, definiert (im Punkt selbst brauchen diese Funktionen nicht definiert zu sein) und differenzierbar mit .
Dann gilt
(2.26)

falls dieser Grenzwert existiert (Regel von BERNOULLI-L'HOSPITAL).
Sollte der Ausdruck wieder einen unbestimmten Ausdruck der Form oder ergeben, dann wird das Verfahren wiederholt.

Beispiel


Fall b) Unbestimmte Ausdrücke der Form : Wenn unter ähnlichen Bedingungen wie im Falle oder gilt und sowie , dann wird der Grenzwert auf die Form oder gebracht, so daß die Berechnung des Grenzwertes auf den Fall oder zurückgeführt ist.

Beispiel


Fall c) Unbestimmte Ausdrücke der Form : Wenn unter ähnlichen Bedingungen wie im Falle oder gilt und sowie , dann wird zur Berechnung des Grenzwertes die Differenz auf die Form oder gebracht, was auf verschiedene Weise erreicht werden kann, z.B. ist

Beispiel

,,``.
Zweimalige Anwendung der L'HOSPITALschen Regel führt auf


Fall d) Unbestimmte Ausdrücke der Form : Wenn gilt mit sowie , dann wird zunächst der Grenzwert des Ausdrucks berechnet, der die Form hat, und dann
Analog wird in den Fällen und verfahren.

Beispiel

d.h., ,
also und somit