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Reelle Argumentwerte

Zur Berechnung des Funktionswertes eines Polynoms -ten Grades an der Stelle aus seinen Koeffizienten geht man von der Beziehung
(19.12)

aus, wobei ein Polynom vom Grade ist:
(19.13)

Durch Koeffizientenvergleich in (19.12) bezüglich erhält man die Rekursionsformel
(19.14)

Auf diese Weise werden aus den Koeffizienten von die Koeffizienten von sowie der gesuchte Funktionswert bestimmt. Durch Wiederholung dieser Vorgehensweise, d.h., im nächsten Schritt wird das Polynom mit dem Polynom gemäß
(19.15)

verknüpft usw., erhält man schließlich eine Folge von Polynomen . Die Berechnung der Koeffizienten und Funktionswerte dieser Polynome ist in (19.16) schematisch dargestellt:
(19.16)

Aus dem Schema (19.16) liest man unmittelbar ab. Darüber hinaus gilt:
(19.17)

Beispiel

. Der Funktionswert und die Ableitungswerte von an der Stelle sind gemäß (19.16) zu berechnen.

    

Hinweis: Das HORNER-Schema läßt sich auch für komplexe Koeffizienten durchführen, indem man für jeden Koeffizienten eine reelle und eine imaginäre Spalte gemäß (19.16) berechnet.