|
|
|
|
ein dynamisches System auf 
mit dem Attraktor
und einem auf
konzentrierten invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß
.
Für beliebiges 
seien
die Würfel der Form
mit 
,
für die 
ist.
Für beliebiges 
aus einem 
wird der Semiorbit 
für wachsende 
verfolgt.
In Zeitabständen von 
werden
jeweils 
-mal hintereinander die Nummern 
der Würfel notiert,
in denen sich der Semiorbit befindet.
Sei 
die Menge aller Startwerte nahe 
,
deren Semiorbits
zu den Zeitpunkten 
,
jeweils in
liegen und sei 
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein (typischer) Startwert in 
liegt.
Die Entropie gibt den Zuwachs an Information an, den ein Versuch im Mittel liefert, der
anzeigt, welches Ereignis aus einer endlichen Anzahl disjunkter Ereignisse wirklich
eingetreten ist.
In der vorliegenden Situation ist dies
 |
(17.37) |
der Länge
summiert wird, die
durch Orbits in der oben beschriebenen Weise realisiert werden.
Die metrische Entropie oder KOLMOGOROV-SINAI- Entropie
des Attraktors
von 
bezüglich des invarianten
Maßes 
ist die Größe
.
(Für diskrete Systeme entfällt der Grenzwert für 
.)
Für die topologische Entropie 
von
gilt 
.
In vielen Fällen ist 
-invariantes
Wahrscheinlichkeitsmaß auf 
.
| Beispiel A | |
|
Sei | |
| Beispiel B | |
|
Für die Shift- oder Modulo-Abbildung (17.28) gilt
| |
|
|
eine stabile Ruhelage von (
konzentrierten natürlichen Maß 
.
,
wobei