Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme

Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme

Das invertierbare dynamische System

auf

heißt volumenschrumpfend oder dissipativ bzw. volumenerhaltend oder konservativ , wenn für jede Menge

mit einem positiven

-dimensionalen Volumen vol

und jedes

die Beziehung vol(

vol

bzw. vol

vol

gilt.

Beispiel A

Sei in (17.3) ein -Diffeomorphismus , d.h., ist invertierbar, offen, und sind -glatte Abbildungen, und sei die JACOBI-Matrix von in . Dann ist das diskrete System (17.3) dissipativ, falls für alle ist, und konservativ, falls in ist.

Beispiel B

Für das System (17.6) ist und damit . Also ist (17.6) dissipativ, falls , und konservativ, falls .
Die HÉNON-Abbildung läßt sich aus drei Teilabbildungen zusammensetzen (s. Abbildung): Zunächst wird der Ausgangsbereich (linkes Bild) durch die Abbildung flächenerhaltend gedehnt und gebogen (2. Bild). Dann wird durch in Richtung der -Achse bei kontrahiert (3. Bild) und abschließend durch die Abbildung an der Geraden gespiegelt (rechtes Bild).

Beispiel A
	Sei in (17.3) ein -Diffeomorphismus , d.h., ist invertierbar, offen, und sind -glatte Abbildungen, und sei die JACOBI-Matrix von in . Dann ist das diskrete System (17.3) dissipativ, falls für alle ist, und konservativ, falls in ist.