Hauptsätze
Es sei 
eine Matrix-Funktion auf 
,
wobei jede
Komponente 
als stetige Funktion vorausgesetzt wird,
und es sei 
eine stetige Vektorfunktion auf .
Dann heißt
 |
(17.13a) |
inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung im 
und
 |
(17.13b) |
die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung .
1. Hauptsatz über homogene lineare Differentialgleichungen:
Jede Lösung von (17.13a) existiert auf ganz .
Die Gesamtheit aller Lösungen von (17.13b) bildet einen
-dimensionalen Untervektorraum 
der 
-glatten Vektorfunktionen über
.
2. Hauptsatz über inhomogene lineare Differentialgleichungen:
Die Gesamtheit aller Lösungen 
von (17.13a) ist ein
-dimensionaler affiner Unterraum der -glatten Vektorfunktionen über
in der Form 
,
wobei 
eine beliebige Lösung von
(17.13a) ist.
Seien 
beliebige Lösungen von (17.13b) und
die zugehörige Lösungsmatrix .
Dann genügt 
auf
der Matrix-Differentialgleichung
,
wobei 
ist.
Bilden die Lösungen
eine Basis von 
,
so
heißt
Fundamentalmatrix
von (17.13b).
Bezüglich einer Lösungsmatrix
von (17.13b) ist 
die WRONSKI-Determinante .
Für sie gilt die Formel von LIOUVILLE :
 |
(17.13c) |
Für eine Lösungsmatrix ist 
auf
oder 
für alle
.
Das System
ist also genau dann eine Basis von ,
wenn 
für ein 
(und damit für
alle) ist.
3. Satz über die Variation der Konstanten:
Sei
eine beliebige Fundamentalmatrix von (17.13b).
Dann läßt sich die Lösung 
von (17.13a) mit Anfang
zur Zeit 
in der Form
 |
(17.13d) |
darstellen.
