Satz von Liouville

Satz von Liouville

Seien

der Fluß von (17.1),

eine beliebige beschränkte und meßbare Menge,

das

-dimensionale Volumen von

(s. Abbildung).

Dann gilt für beliebiges

die Beziehung

. Für

lautet der Satz von LIOUVILLE:

(17.12)

Folgerung: Gilt für (17.1) div in , so ist der Fluß von (17.1) volumenschrumpfend. Gilt div in , so ist der Fluß von (17.1) volumenerhaltend.

Beispiel A

Für das LORENZ-System (17.2) ist . Wegen und ist also . Mit dem Satz von LIOUVILLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare Menge offenbar . Für die lineare Differentialgleichung lautet die Lösung , so daß für folgt.

Beispiel B

Sei eine offene Teilmenge und eine -Funktion. Dann heißt HAMILTONsche Differentialgleichung . Die Funktion heißt HAMILTON- Funktion des Systems. Bezeichnet die rechte Seite dieser Differentialgleichung, so gilt offenbar . HAMILTONsche Differentialgleichungen sind also volumenerhaltend.

Beispiel A
	Für das LORENZ-System (17.2) ist . Wegen und ist also . Mit dem Satz von LIOUVILLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare Menge offenbar . Für die lineare Differentialgleichung lautet die Lösung , so daß für folgt.

Beispiel B
	Sei eine offene Teilmenge und eine -Funktion. Dann heißt HAMILTONsche Differentialgleichung . Die Funktion heißt HAMILTON- Funktion des Systems. Bezeichnet die rechte Seite dieser Differentialgleichung, so gilt offenbar . HAMILTONsche Differentialgleichungen sind also volumenerhaltend.