Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Für stetige Abbildungen eines kompakten Intervalls in sich gibt es zahlreiche
hinreichende Bedingungen für die Existenz chaotischer invarianter Mengen.
Drei Beispiele sollen genannt werden.
1. Satz von Shinai:
Sei 
eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls
(z.B. 
)
in sich.
Dann ist das System 
auf
genau dann chaotisch im Sinne von
DEVANEY, wenn die topologische Entropie von 
auf ,
d.h. 
,
positiv ist.
2. Satz von Sharkovsky:
Die positiven ganzen Zahlen seien folgendermaßen geordnet:
Sei 
eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls
in sich und habe
auf
einen 
-periodischen Orbit.
Dann hat
auch einen 
-periodischen Orbit, wenn 
ist.
3. Satz von Block, Guckenheimer und Misiuriewicz:
Sei
eine stetige Abbildung des kompakten Intervalls
in sich, so daß
einen 
-periodischen Orbit
(
,
ungerade) besitzt.
Dann ist 
.
