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Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation

Zwischen FOURIER- und LAPLACE-Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch gegeben ist, daß sich die FOURIER-Transformation als Spezialfall der LAPLACE-Transformation für den Fall ergibt. Daraus folgt, daß jede FOURIER-transformierbare Funktion auch LAPLACE-transformierbar ist, während das Umgekehrte nur für einen kleineren Kreis von Funktionen möglich ist. Die folgende Tabelle enthält einen Vergleich einer Reihe von Eigenschaften der beiden Integraltransformationen.
Tabelle Vergleich der Eigenschaften von FOURIER- und LAPLACE-Transformation

FOURIER-Transformation LAPLACE-Transformation

ist reell, physikalisch deutbar, z.B. als Frequenz


ist komplex,
Ein Verschiebungssatz Zwei Verschiebungssätze
Intervall:
Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
zweiseitigem Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wellen-Gleichung		 Intervall:
Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
einseitigen Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wärmeleitungs-Gleichung
Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte Differentiationssatz enthält Anfangswerte
Konvergenz des FOURIER-Integrals hängt
nur von ab		 Konvergenz des LAPLACE-Integrals wird durch
den Faktor verbessert
Genügt der zweiseitigen Faltung Genügt der einseitigen Faltung