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Wavelet-Transformation

Zu einem Wavelet kann man mit Hilfe eines Parameters eine ganze Schar von Funktionen bilden:
(15.148)

Im Falle wird die Ausgangsfunktion gestaucht. Im Falle wird zusätzlich eine Spiegelung vorgenommen. Der Faktor ist ein Skalierungsfaktor.

Mit Hilfe eines zweiten Parameters können die Funktionen noch verschoben werden. Man erhält dann die zweiparametrige Kurvenschar

(15.149)

Der reelle Verschiebunbgsparameter charakterisiert den Zeitpunkt (bzw. den Ort), während der Parameter die Ausdehnung der Funktion angibt. Die Funktion wird im Zusammenhang mit der Wavelet-Transformation als Basisfunktion bezeichnet.

Die Wavelet-Transformation einer Funktion ist wie folgt definiert:

(15.150a)

Für die Rücktransformation gilt:
(15.150b)

Dabei ist eine Konstante, die vom speziellen Wavelet abhängt.

Beispiel

Unter Verwendung des HAAR-Wavelets (15.143) erhält man


und damit
 
  (15.151)

Der Wert gemäß (15.151) stellt eine Differenz von Mittelwerten der Funktion über zwei benachbarten Intervallen der Länge um den Punkt dar.

Bemerkungen:
1. In den Anwendungen spielt die dyadische Wavelet-Transformation eine große Rolle. Als Basisfunktionen verwendet sie die Funktionen

(15.152)

d.h. die verschiedenen Basisfunktionen ergeben sich aus einem Wavelet durch Verdoppeln oder Halbieren der Breite und durch Verschieben um ganzzahlige Vielfache der Breite.
2. Als orthogonales Wavelet bezeichnet man ein Wavelet , bei dem die gemäß (15.152) erzeugten Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden.
3. Besonders gute numerische Eigenschaften haben DAUBECHIES-Wavelets. Das sind orthogonale Wavelets mit einem kompakten Träger, d.h. sie sind nur auf einem Teil der Zeitachse von Null verschieden. Für sie gibt es aber keine geschlossene Darstellung (s. Lit. 15.11).