Eine der ersten Anwendungen von Integralgleichungen auf physikalische Probleme wurde von
ABEL untersucht.
In einer vertikalen Ebene bewege sich ein Massenpunkt entlang einer gewissen Kurve nur
unter dem Einfluß der Schwerkraft vom Punkt 
zum Punkt 
(s. Abbildung).
Die Geschwindigkeit des Teilchens in einem Punkt der Kurve beträgt
 |
(11.74) |
Durch Integration ermittelt man die Fallzeit in Abhängigkeit von 
:
 |
(11.75a) |
Stellt man 
als Funktion von 
durch 
dar, so ist
 |
(11.75b) |
Es besteht nun die Aufgabe, zu gegebener Fallzeit die Gestalt der Kurve als Funktion von
zu bestimmen.
Mit den Ersetzungen
 |
(11.75c) |
erhält man, indem noch die Variable
in 
umbenannt wird, die
VOLTERRAsche Integralgleichung 1. Art
 |
(11.75d) |
Es soll die etwas allgemeinere Gleichung
 |
(11.76) |
behandelt werden.
Der Kern dieser Gleichung ist für 
nicht beschränkt.
In (11.76) werden formal die Variable
in 
und die Variable
in
umbenannt.
Damit wird erreicht, daß sich die Lösung in der Form 
ergibt.
Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung (11.76) mit dem Term
und die anschließende Integration nach
in den
Grenzen von 
bis
führt auf die Gleichung
 |
(11.77a) |
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite dieser Gleichung ergibt
 |
(11.77b) |
Das innere Integral ist mit der Substitution 
auswertbar:
 |
(11.77c) |
Der gewonnene Ausdruck wird in (11.77b) eingesetzt.
Die gesuchte Funktion 
wird durch anschließende Differentiation nach
bestimmt:
 |
(11.77d) |
| Beispiel |
|
 .
|
