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Spezieller Spline-Ansatz

Für eine spezielle Kernapproximation auf dem Integrationsintervall wird
(11.32)

gewählt. Die Funktion ist nur in dem Intervall , dem sogenannten Träger , ungleich Null (s. Abbildung).



Zur Bestimmung der Koeffizienten in (11.31a) betrachte man an den Stellen . Dann gilt
(11.33)

und folglich . Aus diesem Grund setzt man . Die Gleichung (11.31a) hat damit die Form
(11.34)

Die Lösung von (11.31c) hat bekanntlich die Darstellung

(11.35)

Der Ausdruck ist dabei ein Polygonzug, der an der Stelle den Wert annimmt. Bei der Lösung von (11.31c) nach dem Verfahren für ausgeartete Kerne ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für die Zahlen :
(11.36a)

Dabei ist
 
  (11.36b)

Für die Integrale ergibt sich
(11.36c)

Die Zahlen in (11.36a) sind festgelegt durch
(11.36d)

Werden die Zahlen aus (11.36a) zur Matrix , die Werte zur Matrix und die Werte zur Matrix zusammengefaßt, und wird aus den Zahlen der Vektor und aus den gesuchten Zahlen der Vektor gebildet, dann hat das Gleichungsystem (11.36a) in Matrizenschreibweise die Form
(11.36e)

Falls die Matrix regulär ist, hat dieses System eine eindeutige Lösung .