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Lineare Integralgleichungen 1. und 2. Art

Ist die gesuchte Funktion in allen Termen nur linear enthalten, dann spricht man von einer linearen Integralgleichung . Die allgemeine Form einer linearen Integralgleichung lautet:
(11.1)

Die Funktion ist zu bestimmen, die Funktion heißt Kern der Integralgleichung und ihre Störfunktion . Diese Funktionen können auch komplexe Werte annehmen. Verschwindet die Funktion in dem betrachteten Bereich, d.h., ist , dann ist es eine homogene Integralgleichung , andernfalls eine inhomogene . Die Größe ist ein im allgemeinen komplexwertiger Parameter .

Zwei Spezialfälle von (11.1) haben besondere Bedeutung. Sind die Integrationsgrenzen unabhängig von , also konstante Größen, d.h. und , dann handelt es sich um eine FREDHOLMsche Integralgleichung:

(11.2a)

(11.2b)

Ist und , so spricht man von einer VOLTERRAschen Integralgleichung:
(11.2c)

(11.2d)

Kommt die zu ermittelnde Funktion nur unter dem Integral vor, d.h. ist , dann liegt eine Integralgleichung 1. Art vor (11.2a, 11.2c). Eine Integralgleichung 2. Art ist durch gekennzeichnet (11.2b,11.2d).

Hinweis: In diesem Kapitel werden nur Integralgleichungen 1. und 2. Art vom FREDHOLMschen und VOLTERRAschen Typ betrachtet sowie einige singuläre Intgralgleichungen.