Aufgabenstellung

1. Extremum eines Integralausdrucks In der Differentialrechnung besteht eine wichtige Aufgabe darin, festzustellen, für welche

-Werte eine vorgegebene Funktion

einen Extremwert hat. In der Variationsrechnung lautet die entsprechende Frage: Für welche Funktionen nimmt ein bestimmtes Integral, dessen Integrand von dieser Funktion und deren Ableitungen abhängt, einen Extremwert an? In der Variationsrechnung wird demzufolge ein ganzer Funktionsverlauf

gesucht, der einen Integralausdruck der Form

(10.1)

zum Extremum macht, wenn

eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse durchläuft. Dabei können für die Funktionen

und deren Ableitungen noch zusätzliche Bedingungen, sogenannte Rand - und Nebenbedingungen , gestellt werden.
2. Integralausdrücke der Variationsrechnung An Stelle der unabhängigen Variablen

können in (10.1) auch mehrere Variablen stehen. Die auftretenden Ableitungen sind dann partielle Ableitungen, und das Integral in (10.1) entspricht einem mehrfachen Integral. Im wesentlichen werden in der Variationsrechnung Aufgaben mit folgenden Integralausdrücken untersucht:

(10.2)

(10.3)

(10.4)

(10.5)

Die gesuchte Funktion ist

, und

stellt einen ebenen Integrationsbereich dar.

(10.6)

Die gesuchte Funktion ist

, und

stellt einen räumlichen Integrationsbereich dar.
Für die Lösungen eines Variationsproblems können zusätzliche Randbedingungen vorgegeben sein, die im eindimensionalen Fall an den Intervallrändern

und

bzw. auf dem Rand des Integrationsgebietes

im zweidimensionalen Fall gelten sollen. Darüber hinaus können den Lösungen noch verschiedene Arten von Nebenbedingungen , z.B. in Integralform oder als Differentialgleichung vorgeschrieben sein.

Ein Variationsproblem heißt von erster bzw. höherer Ordnung je nachdem, ob die Funktion im Integralausdruck der Variationsaufgabe nur die erste Ableitung oder höhere Ableitungen der Funktion enthält.
3. Parameterdarstellung der Variationsaufgabe Ein Variationsproblem kann auch in Parameterdarstellung vorliegen. Für die Kurvendarstellung hat dann z.B. der Integralausdruck (10.2) die Form

(10.7)