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Irrationale und transzendente Zahlen


1. Menge der irrationalen Zahlen: Für die Analysis reicht die Menge der rationalen Zahlen nicht aus. Obgleich sie überall dicht ist, füllt sie nicht die gesamte Zahlengerade aus. Wenn man z.B. die Diagonale des Einheitsquadrats um dreht, so daß in den Punkt der Zahlengeraden übergeht, dann hat keine rationale Koordinate.



Erst die Einführung der irrationalen Zahlen ermöglicht es, jedem Punkt der Zahlengeraden eine Zahl zuzuordnen.
In den Lehrbüchern der Analysis wird eine exakte Definition der irrationalen Zahlen gegeben, z.B. durch Intervallschachtelung. Für die Anschauung genügt die Feststellung, daß die irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden die Punkte einnehmen, die als Lücken zwischen den rationalen Zahlen vorhanden sind, und daß jede irrationale Zahl durch einen nichtperiodischen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden kann.
2. Algebraische Irrationalitäten: Zu den irrationalen Zahlen gehören insbesondere die nicht ganzzahligen reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen der Form
(1.4a)

Man nennt solche Wurzeln algebraische Irrationalitäten .
Beispiel A

Einfachste Beispiele für algebraische Irrationalitäten sind die reellen Wurzeln der Gleichungen , also Zahlen der Form , wenn sie nicht rational sind.

Beispiel B

sind algebraische Irrationalitäten.

Irrationale Zahlen, die keine algebraischen Irrationalitäten sind, nennt man transzendente Zahlen .

Beispiel A

sind transzendente Zahlen.

Beispiel B

Die dekadischen Logarithmen der positiven ganzen Zahlen mit Ausnahme von Zahlen der Form sind transzendente Zahlen.

Die nichtganzzahligen Wurzeln der quadratischen Gleichung

(1.4b)

werden quadratische Irrationalitäten genannt . Sie haben die Form .
Beispiel

Die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes führt im Falle auf die quadratische Gleichung . Die Lösung ist eine quadratische Irrationalität. Sie enthält die irrationale Zahl .