Teil I: Auf dem Spielfeld der natürlichen Zahlen

4. Die freundliche Elite der Palindrome und ihr Verhältnis zu den Primzahlen

Gemessen an der Menge aller natürlichen Zahlen sind es nicht eben viele, die als Palindrome daherkommen. Doch dafür haben sie die besondere Eigenschaft, daß sie ohne Identitätsverlust gespiegelt werden können.

Diese Eigenschaft ist zweifellos eine elitäre. Anderen Zahlen bekommt es schlecht, wenn sie sich spiegeln. Sie hören sofort auf, sie selbst zu sein und verwandeln sich in ihre Spiegelbilder. 326 etwa wird gespiegelt zur 623. Gewiß, in diesem Falle wird die Zahl um fast das Doppelte größer als sie vorher war, aber das muß nicht immer so sein. Wenn die 901 sich spiegelt, wird sie zur 109, und die ist viel kleiner. So gesehen ist es schon etwas Besonderes, wenn Palindrome sich spiegeln, ohne dabei ihre Identität zu verlieren. Aber das macht sie keineswegs eitel. Das ist gut für uns, denn Spiele mit Eitlen werden sehr bald langweilig.

Erinnert Euch bitte, wie der kleine Prinz auf dem Planeten mit der Nummer 326 den Eitlen traf, der es liebte, wenn man ihm applaudierte. Bei jeder Huldigung grüßte er bescheiden, indem er seinen Hut lüftete. Der kleine Prinz fand das zunächst ganz unterhaltsam und klatschte auch einige Male in die Hände, doch nach fünf Minuten war er der eintönigen Zeremonie schon überdrüssig. Wäre der Hut endlich einmal heruntergefallen, anstatt immer wieder auf dem Kopf des Eitlen zu landen, so wäre das eine willkommene Abwechslung gewesen.

Palindrome bilden zwar eine Elite unter den natürlichen Zahlen, aber sie wollen deswegen keineswegs bewundert werden. Auch sind sie keine exklusive Gesellschaft, die sich scharf und unerbittlich von allen anderen Zahlen abgrenzt und es keiner gestattet, eine der ihren zu werden. Es gibt unter den natürlichen Zahlen viele, die es mit relativ geringem Aufwand erreichen, in die Gemeinschaft der Palindrome aufgenommen zu werden. Was sie dazu tun müssen, ist allein, sich zu ihrem Spiegelbild zu bekennen und sich irgendwie mit ihm zu vereinen, z.B. indem sie sich mit ihm addieren. Notfalls mehrmalig. Wenn sie Glück haben, werden sie dabei irgendwann zu einem Palindrom.

Die 326 ist eine solche glückliche Zahl, denn sie wird schon nach der ersten Spiegelung und Addition zu einem Palindrom: 326 + 623 = 949. Schwerer hat es die 736; nach der ersten Spiegelung und Addition wird aus ihr die 1373 (= 736 + 637). Die aber ergibt, addiert zu ihrer Spiegelzahl, die 5104 (= 1373 + 3731). Und erst die 5104 führt im dritten Schritt schließlich zu einem Palindrom: 5104 + 4015 = 9119. Die 738 benötigt fünf Schritte, und die 739 gar siebzehn, bis sie in die Gesellschaft der Palindrome aufgenommen werden. Früher oder später aber scheint es den meisten Zahlen doch zu gelingen, in das Reich der Palindrome einzugehen. Und darum kann das Spiel Palindrome auch nicht eintönig werden! Als der kleine Prinz den Eitlen, der ein um das andere Mal huldvoll grüßend seinen Hut lüftete, fragte, was man denn tun muß, damit der Hut endlich herunterfällt, hörte ihn dieser nicht einmal, denn Eitle hören immer nur die Lobreden, die auf sie gehalten werden. Wenn eine Zahl sich spiegelt und ihre Spiegelzahl zu sich addiert, so darf sie hoffen, daß irgendwann der Hut doch einmal herunterfällt und sie tatsächlich zu einem Palindrom wird. Wird sie's oder wird sie's nicht? Nach wieviel Schritten wird sie's, und wie groß ist sie, wenn sie's wird? Was erlebt sie alles, bevor sie's wird? Ein solches Spiel verspricht Überraschungen statt Eintönigkeit und Verblüffung statt Langeweile.

Die Bereitschaft, auch andere natürliche Zahlen in ihre Gemeinschaft zu erheben, macht die Palindrome zu einer freundlichen Elite. Daß dies unter Zahlen keineswegs selbstverständlich ist, zeigt eine andere, noch viel elitärere Gruppe: die Primzahlen. Deren hervorstechende Eigenschaft, die sie von allen anderen Zahlen unterscheidet, ist, daß sie sich durch keine andere ohne Rest teilen lassen, außer durch die Eins und durch sich selbst. Primzahlen verbergen sich zwar als Faktoren in allen anderen ganzen Zahlen, doch legen sie Wert darauf, daß in ihnen selbst außer der Eins keine anderen Faktoren stecken.

Nur wenigen Zahlen gelingt der große Wurf, in die Elite der Primzahlen erhoben zu werden. Auf den ersten Blick sieht es fast so aus, als würden die Primzahlen es den anderen natürlichen Zahlen strikt verwehren, in ihre Gruppe aufzusteigen. Doch solcher Exklusivität beugen die Palindrome vor. Es gibt nämlich durchaus einen Weg, wie gewisse Zahlen, die von Haus aus keine Primzahlen sind, zu einer solchen werden können. Dieser Weg führt über Palindrome.

Gelingt es einer Zahl, zu einem Palindrom zu werden, das zugleich eine Primzahl ist, dann hat sie es geschafft. Ein solcher Aufsteiger ist z.B. die 140, die zu 041 gespiegelt und addiert zur 181 wird, welche eine palindromische Primzahl ist. Unter den dreistelligen Zahlen sind es weiter die 142, 241, 344, 415, 443 und die 514, denen es vergönnt ist, auf kürzestem Wege durch palindromische Transformation zu dreistelligen Primzahlen zu werden zur 383, 787 und 929. Weitere dreistellige Primzahlpalindrome sind die 101, 131, 151, 191, 313, 353, 373, 727, 757, 797 und die 919. Die palindromischen Primzahlen vereinen beide elitäre Eigenschaften in sich: Sie sind sowohl Primzahlen als auch Palindrome. Sie verdienen, daß wir noch kurz bei ihnen verweilen.

Die erste Zahl, die beide Bedingungen erfüllt, ist die 11. Sie ist das erste Palindrom überhaupt und zugleich die erste zweistellige Primzahl. Als erste in der Reihe derer, die beide genannten Eigenschaften haben, kommt ihr eine tonangebende Rolle zu; sie spielt gewissermaßen die erste Geige. So sorgt sie z.B. dafür, daß Primzahlen nur unter solchen Palindromen auftreten, die eine ungerade Anzahl von Stellen haben. Palindromen mit einer geraden Anzahl von Stellen ist es hingegen verwehrt, Primzahlen unter sich zu dulden. Der Trick, mit dem die 11 das erreicht, ist folgender: Sie beruft sich auf die aus dem Schulunterricht bekannte Regel, derzufolge eine Zahl durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.