Teil I: Auf dem Spielfeld der natürlichen Zahlen

3. Wieviel Palindrome sind unter den natürlichen Zahlen?

"Wenn du einen Diamanten findest, der niemandem gehört, dann ist er dein. Wenn du eine Insel findest, die niemandem gehört, so ist sie dein. Wenn du als erster einen Einfall hast und du läßt ihn patentieren, so ist er dein. Und ich, ich besitze die Sterne, da niemand vor mir daran gedacht hat, sie zu besitzen", sagt der Geschäftsmann, der den Planeten 328 sein eigen nennt, zum kleinen Prinzen. Denn die Sterne zu besitzen, erklärt er weiter, mache ihn reich, und davon könne er weitere Sterne kaufen und noch reicher werden. Und deshalb zählte und addierte er unentwegt und hatte schon fünfhunderteine Million sechshundertzweiundzwanzigtausendsiebenhunderteinunddreißig beisammen.

Vielleicht kommt einmal eine Zeit, da es Menschen möglich sein wird, Sterne zu besitzen. Vielleicht werden es nicht gleich die größten und die glänzendsten sein, die sie sich zu eigen machen; vielleicht werden sie sich für den Anfang mit einigen kleineren begnügen, und vielleicht werden sich einige ganz besonders Geschäftstüchtige unter ihnen auch zunächst in einen Stern teilen, um ihn gemeinsam zu besitzen. Das wird nicht viel anders sein als es heute schon ist. Da errichtet jemand um ein Stück Land auf unserer Erde einen großen Zaun und hängt daran ein Schild, auf dem geschrieben steht: "Das ist mein Besitz. Betreten verboten!" Unser ganzer Planet ist bedeckt von solchen Zäunen und den Geschäftstüchtigen, die sie zählen und addieren, um aus ihnen Gewinn zu schlagen.

Wie gut, daß noch niemand daran gedacht hat, Zahlen zu besitzen. Stellt Euch vor, jemand würde die Null in seinen Besitz nehmen und es niemandem mehr gestatten, sich ihrer frei zu bedienen. Er würde ganz ernsthaft eine Null nach der anderen zählen, sie auf ein kleines Papier schreiben und dieses Papier in eine Schublade sperren. So viele Nullen er aber auch sein eigen nennt, es bleiben immer noch unendlich viele von ihnen in Freiheit und zu unser aller Verfügung. Deshalb bringt es gar nichts ein, Zahlen zu zählen und zu addieren, nur um sie zu besitzen.

Viel amüsanter ist es, Zahlen zu zählen und zu addieren, um mit ihnen zu spielen. Unser Spiel "Palindrome" ist von eben dieser Art. Bevor wir jedoch Zahlen so addieren, daß aus ihnen Palindrome werden, wollen wir die Palindrome selbst erst einmal zählen.

Wieviel Palindrome gibt es? Wenn wir in der Reihe der natürlichen Zahlen mit der Null beginnend von der Eins zur Zwei, dann zur Drei und so fort immer um Eins weiterschreiten, begegnen wir in der 11 dem ersten Palindrom. In dem Zehnersystem, das allen unseren Rechnungen zugrundeliegt, gibt es zwischen der Null und der Neun noch kein Palindrom, denn eine palindromische Zahl muß ja mindestens aus zwei Ziffern bestehen, damit man sie vorwärts wie rückwärts lesen kann. Wir könnten natürlich vereinbaren, auch die Ziffern 0 bis 9 als Palindrome zu betrachten, weil sie, wenn man sie als alleinstehende Ziffern dennoch "rückwärts" liest, sich einfach gleich bleiben. Doch das werden wir erst später tun; vorerst nehmen wir die 11 als das erste Palindrom unter den natürlichen Zahlen. Nach elf weiteren Schritten folgt dann als zweites Palindrom die 22, wiederum nach elf Schritten die 33 und so fort bis zur 99. Unter den neunzig zweistelligen Zahlen von 10 bis 99 befinden sich mithin 9 Palindrome, das sind 10%.

Die dreistelligen Zahlen reichen auf der Zahlengeraden von 100 bis 999. Das erste dreistellige Palindrom ist die 101; ihm folgt nach einem Zehnerschritt das zweite, die 111, und so jeweils nach einem Zehnerschritt das nächste bis zur 191. Jetzt aber ist ein Elferschritt nötig, um auf das nächste Palindrom, die 202, zu treffen. Von der geht es wieder in Zehnerschritten bis zur 292. In jedem Hunderter springen wir neunmal in Zehnerschritten und treffen so auf jeweils zehn Palindrome. Da der Bereich der dreistelligen Zahlen aus neun Hundertern besteht, erhalten wir 90 Palindrome. Auch das sind 10%.

Das erste vierstellige Palindrom ist die 1001. Hier ist schon ein Hundertzehnerschritt nötig, um zum zweiten zur 1111 zu gelangen.

Wenn wir so immer weiterhüpfen, stellen wir fest, daß die Palindrome eigentlich ganz regelmäßig aufeinanderfolgen, wenngleich die Regel einen Gleichschritt immer nur für bestimmte Abschnitte zuläßt, ihn dann aber unterbricht, einen neuen Gleichschritt aufnimmt, und so weiter. So kommt es, daß die Palindrome einerseits zwar regelmäßig, andererseits jedoch nicht gleichmäßig aufeinanderfolgen und zudem mit wachsender Anzahl der Stellen weiter auseinanderrücken.

Unter den 9000 vierstelligen Zahlen befinden sich 90 Palindrome, das sind nur noch 1%. Unter den 90 000 fünfstelligen Zahlen sind 900 Palindrome, das sind ebenfalls 1%. Je weiter wir auf der Zahlengeraden fortschreiten, um so dünner gesät sind die palindromischen Zahlen. Tabelle 1 zeigt, wie sprunghaft sich die Dichte der palindromischen Zahlen für die einzelnen Abschnitte der Zahlengeraden verändert:

In ihr bedeuten N die Anzahl n-stelliger Zahlen, P_[n] die Anzahl der Palindrome im geschlossenen Abschnitt der n-stelligen Zahlen und rho[n] die Dichte der Palindrome im Abschnitt der n-stelligen Zahlen (in Prozent). Jeweils zwei Abschnitte haben immer die gleiche Dichte, ehe diese sich für den folgenden Abschnitt um den Faktor 10 verringert.

Fragt man nun nach der Verteilung der palindromischen Zahlen nicht innerhalb geschlossener Abschnitte, sondern auf der Zahlengeraden insgesamt, so findet man dementsprechend, daß ihre Dichte wiederum sprunghaft abnimmt. Tabelle 2a zeigt die Werte. In ihr bedeutet rho_n die Dichteverteilung (in Prozent) der palindromischen Zahlen auf der gesamten Zahlengeraden bis zur letzten der n-stelligen Zahlen. Ab n = 4 besteht die Folge der Werte von rho_n aus periodischen Dezimalbrüchen. Das Bildungsgesetz der Perioden ist leicht erkennbar. Nimmt man die Ziffer vor dem Komma mit hinzu, dann besteht jede Periode bei einem n größer/gleich 4 jeweils aus den ersten n - 1 Ziffern. Auch wie sich die Perioden aus den Ziffern 1, 8, 9 und 0 aufbauen, ist ganz und gar regelmäßig und leicht durchschaubar. Wir können Tabelle 2a deshalb weiterschreiben, ohne die Palindrome überhaupt zählen und ihre Dichte berechnen zu müssen.

Sie geht wie folgt weiter (Tabelle 2b). Wer's nicht glaubt, möge selber nachrechnen.

Die Folge der rho_n strebt offensichtlich keinem Grenzwert zu. Betrachtet man jedoch den Ausdruck rho_n/rho_(n-1), so erhält man eine Folge, deren Glieder sich in der Nähe zweier Werte häufen: 0.1818 ... und 0.55. Die Folge oszilliert zwischen beiden Werten. Dieser Sachverhalt läßt sich auch so formulieren:

Ist rho_n die Dichte der Palindrome bis zur letzten der n-stelligen Zahlen, so verringert sich diese Dichte beim Weiterschreiten auf der Zahlengeraden um den Faktor 0.55, wenn n gerade ist, und um den Faktor 0.18 18 ..., wenn n ungerade ist.

Beiläufig sei erwähnt, daß das Produkt aus beiden Faktoren den Wert 0.1 hat: 0.55·0.1818...=0.1. Obgleich wir dergestalt immer seltener palindromischen Zahlen begegnen, je weiter wir auf der Zahlengeraden fortschreiten, sind es ihrer doch unendlich viele. Das ist leicht einzusehen, denn zu jeder vorgegebenen, beliebig großen n-stelligen palindromischen Zahl kann sofort eine noch größere angegeben werden, indem rechts und links von ihr ein weiteres gleiches Glied angefügt wird. Aus dem n-stelligen Palindrom abc ... cba wird so xabc ... cbax, welches ein (n+2)-stelliges Palindrom und somit größer als das n-stellige ist.

Über die Dichteverteilung von Palindromen hat Harvey Schmidt vom Lewis and Clark College in Portland einen interessanten Sachverhalt festgestellt. Für Palindrome mit einer ungeraden Stellenzahl gilt nämlich, daß grob gesagt 1/11 von ihnen durch 11 teilbar sind, oder genauer: Wenn d_n die Anzahl der durch 11 teilbaren Palindrome mit 2n+1 Ziffern ist, dann gilt:

d_n = (1/11)(10ⁿ⁺¹ + (-1)ⁿ) .

Freilich mußte er, um zu diesem Ergebnis zu kommen, auch Palindrome zulassen, die eigentlich keine sind, nämlich Zahlen, die aus Palindromen entstehen, wenn man am Kopf und am Ende der jeweiligen Zahl die gleiche Anzahl von Nullen anfügt. So erhielt er beispielsweise die "Palindrome" 010 oder 01110. Verabredet man, auch solche Zahlen als Palindrome gelten zu lassen, dann kommen in unserer Tabelle 1 zu den 90 dreistelligen Palindromen noch 10 hinzu ( 000 bis 090), zu den 900 fünfstelligen noch 100 (00000 bis 00900, 01010 bis 01910, 02020 bis 02920, ... , 09090 bis 09990), und bei den (2n + 1)-stelligen noch 10ⁿ. Damit erhalten wir insgesamt 10² dreistellige, 10³ fünfstellige und all-gemein 10⁽ⁿ⁺¹⁾ (2n + 1)-stellige Palindrome. Akzeptiert man die Verabredung, dann gilt Schmidts Ergebnis wie in (1) mitgeteilt.

Eine Betrachtung anderer Art über die Dichteverteilung von Palindromen, d.h. über die Anzahl von Palindromen im nach rechts offenen Bereich von Null bis zur natürlichen Zahl N, hat Dieter Bauke aus Gera angestellt. Er fand u.a., daß die ungleichmäßige Verteilung der Palindrome in den natürlichen Zahlen sich auch darin zeigt, daß ihre "quadratische" Dichte A(N)/Wurzel(N) zwischen 2 und 3,4785... (~Wurzel(10) + 1/Wurzel(10)) schwankt.