Mächtigkeit, Kardinalzahl

Mächtigkeit, Kardinalzahl

1. Mächtigkeit, Kardinalzahl: Zwei Mengen

heißen gleichmächtig , falls es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt. Jeder Menge

wird eine Kardinalzahl

oder

zugordnet, so daß gleichmächtige Mengen die gleiche Kardinalzahl erhalten. Eine Menge ist zu ihrer Potenzmenge niemals gleichmächtig, so daß es keine ,,größte`` Kardinalzahl gibt.
2. Unendliche Mengen: Unendliche Mengen sind dadurch charakterisiert, daß sie echte Teilmengen besitzen, die zur Gesamtmenge gleichmächtig sind. Die ,,kleinste`` unendliche Kardinalzahl ist die Kardinalzahl der Menge

der natürlichen Zahlen. Sie wird mit

(aleph

) bezeichnet.

Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie zu gleichmächtig ist. Das bedeutet, ihre Elemente lassen sich durchnumerieren bzw. als unendliche Folge schreiben.

Eine Menge heißt überabzählbar ( unendlich ), wenn sie unendlich, aber nicht gleichmächtig zu ist. Demzufolge ist jede nichtabzählbare (unendliche) Menge überabzählbar (unendlich).

Beispiel A

Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind abzählbar (unendlich).

Beispiel B

Die Menge der reellen Zahlen und die Menge der komplexen Zahlen sind überabzählbar (unendlich). Beide Mengen sind gleichmächtig. Ihre Kardinalzahl wird mit bezeichnet; heißt auch Mächtigkeit des Kontinuums .

Beispiel A
	Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind abzählbar (unendlich).

Beispiel B
	Die Menge der reellen Zahlen und die Menge der komplexen Zahlen sind überabzählbar (unendlich). Beide Mengen sind gleichmächtig. Ihre Kardinalzahl wird mit bezeichnet; heißt auch Mächtigkeit des Kontinuums .