Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
1. Prinzip:
Der Grad der Zugehörigkeit eines beliebigen Elements 
zu den Mengen 
bzw. 
soll nur von den beiden Zugehörigkeitsgraden 
und 
des Elementes zu den beiden unscharfen Mengen 
und 
abhängen.
Mit Hilfe zweier Funktionen
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(5.358) |
lassen sich die unscharfe Mengenvereinigung und der unscharfe Mengenschnitt wie folgt
definieren:
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(5.359) |
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(5.360) |
Die Zugehörigkeitsgrade
und
werden in einen neuen
Zugehörigkeitsgrad abgebildet.
Die Funktionen 
und 
werden -Norm und -Konorm , letztere auch
-Norm genannt.
2. Interpretation:
Die Funktionen 
und 
stellen den Wahrheitswert dar, der sich
aus der Verknüpfung der Wahrheitswerte
und
ergibt.
3. Definition der t-Norm: Die -Norm ist eine binäre Operation
in [0,1] und eine Abbildung
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(5.361) |
Sie ist symmetrisch, assoziativ, monoton wachsend und besitzt 
als Nullelement und 
als
neutrales Element.
Für 
gelten folgende Eigenschaften:
(E1) Kommutativität:
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(5.362a) |
(E2) Assoziativität:
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(5.362b) |
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement und neutralen Element :
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(5.362c) |
(E4) Monotonie:
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(5.362d) |
Definition der s-Norm:
Die -Norm ist eine binäre Operation
in 
und eine Abbildung
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(5.363) |
Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:
(E1) Kommutativität:
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(5.364a) |
(E2) Assoziativität:
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(5.364b) |
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement und neutralen Element :
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(5.364c) |
(E4) Monotonie:
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(5.364d) |
Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich jeweils eine ganze Klasse 
von
Funktionen der -Normen bzw. eine Klasse 
von Funktionen der -Normen
einführen.
Detailierte Untersuchungen haben gezeigt, daß der folgende Zusammenhang gilt:
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(5.364e) |
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(5.364f) |
