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Regula falsi


1. Vorschrift der Regula falsi: Zur Lösung der Nullstellengleichung verfährt die Regula falsi nach der Vorschrift
(19.10)

d.h., sie benutzt nur Funktionswerte und geht aus dem NEWTON-Verfahren (19.6) dadurch hervor, daß die Ableitung durch den Differenzenquotienten von zwischen und einem vorhergehenden Näherungswert ersetzt wird.
2. Geometrische Interpretation: Die geometrische Interpretation der Regula falsi ist in der folgenden Abbildung dargestellt:



Die Grundidee der Regula falsi besteht in der lokalen Approximation der Kurve durch eine Sekante.

3. Konvergenz: Das Verfahren (19.10) konvergiert sicher, wenn man jeweils so wählt, daß und verschiedene Vorzeichen haben. Ist bei fortgeschrittener Iteration die Konvergenz bereits gesichert, so wird sie beschleunigt, wenn man ohne Rücksicht auf die Vorzeichenbedingung setzt.

Beispiel

Falls sich im Verlaufe der Rechnung die Werte nur noch unwesentlich ändern, kann auf ihre Neuberechnung verzichtet werden.
4. Steffensen-Verfahren: Durch Anwendung der Regula falsi mit auf die Gleichung läßt sich häufig die Konvergenz wesentlich beschleunigen oder im Falle sogar erzwingen. Diese Vorgehensweise ist unter dem Namen STEFFENSEN-Verfahren bekannt geworden.

Beispiel

Zur Lösung der Gleichung mit Hilfe des STEFFENSEN-Verfahrens soll die Gleichung benutzt werden.