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Gewöhnliches Iterationsverfahren

Zur Lösung einer Gleichung, die auf die Fixpunktform gebracht worden ist, verwendet man die naheliegende Iterationsvorschrift
(19.3)

die als gewöhnliches Iterationsverfahren bezeichnet wird. Es konvergiert gegen eine Lösung , wenn es eine Umgebung von (s. Abbildung) mit
(19.4)

gibt und die Ausgangsnäherung in dieser Umgebung liegt.



Ist differenzierbar, dann lautet die entsprechende Bedingung
(19.5)

Die Konvergenz des gewöhnlichen Iterationsverfahrens ist um so besser, je kleiner die Zahl ist.

Beispiel

, d.h. .

Hinweise:

1. Im Falle komplexer Lösungen setzt man . Durch Trennung von Real- und Imaginärteil geht die zu lösende Gleichung in ein System zweier Gleichungen für die reellen Unbekannten und über.
2. Die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wird in Abschnitt Nichtlineare Gleichungen behandelt.