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Wahrscheinlichkeitsvektor und Übergangsmatrix

Die Übergangsmatrix einer homogenen MARKOFFschen Kette gemäß (16.113a,b,c) sei bekannt. Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt berechnet werden, d.h., aus und ist zu bestimmen. Es gil:
(16.116)

und weiter
(16.117)

Bemerkungen:
1. Aus (16.117) folgt für
(16.118)

d.h, eine homogene MARKOFFsche Kette ist durch die Anfangsverteilung und die Übergangsmatrix bestimmt.
2. Sind die Matrizen und stochastische Matrizen, dann ist auch die Matrix eine stochastische Matrix. Daraus folgt: Da eine stochastische Matrix ist, sind auch die Potenzen stochastische Matrizen.
Beispiel

Ein Teilchen verändere seine Lage (Zustand) längs einer Geraden zu den Zeitpunkten nach der folgenden Vorschrift:
1. Von den Punkten wird es in der nachfolgenden Zeiteinheit um eine Einheit mit der Wahrscheinlichkeit nach rechts und mit der Wahrscheinlichkeit nach links verschoben.
2. An den Punkte und wird das Teilchen absorbiert, d.h., es bleibt mit der Wahrscheinlichkeit in der nachfolgenden Zeit dort.
3. Zur Zeit befinde sich das Teilchen an der Stelle . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt ist zu berechnen.
Gemäß (16.118) gilt mit und der Übergangsmatrix


Daraus folgt

und man erhält .