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ändert ihren Wert bei einmaligem Durchlauf der Kurve
um den Wert 
,
wobei 
eine
ganze Zahl ist.
Die Wertänderung von
bei einmaligem Durchlauf des gesamten Kurvensystems
beträgt dann
wird als
Index des HILBERTschen Problems bezeichnet.
Es wird die Funktion
und 
,
aus dem Inneren
von
beliebig, aber fest gewählt sind.
Ist 
eine einfache geschlossene Kurve (
), dann wird
gesetzt.
Mit
Die allgemeinste Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, die nicht im
Unendlichen verschwindet, lautet für 
höchstens (
)-ten Grades.
Für 
existiert nur die triviale Lösung 
.
Im Falle
besitzt das homogene HILBERTsche Problem 
linear
unabhängige, im Unendlichen verschwindende Lösungen.
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